重複組み合わせ

問題１

　りんご12個を3人に分ける。

(1)　受け取らない人がいても良いものとするとき，何通りの分け方があるか。

(2)　受け取らない人がいてはいけないとするとき，何通りの分け方があるか。

(3)　誰もが最低2個は受け取るとするとき，何通りの分け方があるか。

問題２

　りんご，なし，みかんがたくさんある。これらから合計12個の果物を組み合わせてかごに詰める。

(1)　含まれない果物があってもよいとするとき，詰め方は何通りあるか。

(2)　どの果物も最低1つは詰めるとするとき，詰めかたは何通りあるか。

(3)　どの果物も最低2つは詰めるとするとき，詰めかたは何通りあるか。

問題1では，同じ物(りんご)12個を3人に分ける。同じ物を分けるときは何個ずつ分けるかがきまれば，分け方そのものが決まってしまう(例えばＡさんに3個，Ｂさんに7個，Ｃさんに2個と決めれば，それが一通りの分け方になる)。そこで，問1の(1)では，12個の同じ物を3人に分けるために，2個の仕切りを混ぜて並べることを考えよう。(なぜ2個の仕切りなのかについてはあとでわかる。)

○(りんごを表わす)……12個

■(仕切りを表わす)…… 2個　　計14個

そうしてこれらを並べたとき，例えば次の図のように並んだら，Ａに3個，Ｂに7個，Ｃに2個分けることを意味すると考える。

また次の図のように並んだら，Ａに7個，Ｃに5個を分け，Ｂは０個（二つの仕切りの間に○がないのでＢはなし）と考えてやればいいわけだ。

要するに，一列に並んだ12個の玉を，3人に分けるために2枚の仕切りで分けてやるようなものだ。

さて，その並べ方の数だが，

○(りんごを表わす)……12個

■(仕切りを表わす)…… 2個　　計14個

を並べるのだから，

となるわけだ。

　(2)や(3)では，全員に最低1つまたは2つのりんごを与えなければならない。ところが(1)の解き方では1つももらわない人がいる場合も数えてしまうのは，既に説明した通りだ。そこで例えば(2)の場合は，最初にあらかじめ1個ずつあげてしまうことにすればよいのだ。そうすれば残り9個のりんごについては，もらわない人が出てしまっても大丈夫なので，(1)と同じように分け方を考えてやればいいわけだ。最初に全員に1個ずつ，計3個のりんごを分けてしまったので，残っているりんごは9個で，そこに仕切りを2個混ぜる。

○(りんごを表わす)……9個

■(仕切りを表わす)……2個　　計11個

だからその並べ方の数は

となる。また(3)では，全員が最低2個のりんごを受け取るので，最初に全員に2個ずつ計6個のりんごを分けてしまい，残りの6個に仕切り2個を混ぜて，

○(りんごを表わす)……6個

■(仕切りを表わす)……2個　　計8個

だからその並べ方は

となる。

問題2は問題１とは設定が全く違うが，実は計算の方法は同じなのだ。

問題2では何をいくつ選ぶかは決まっていないが，合計12個にすることだけは決まっている。そこでまず，自分が12枚の｢果物引換券｣を持っていると考えよう。これを｢りんご｣・｢みかん｣・｢なし｣に好きなように交換するのだ。それぞれに何枚ずつ配分するか，その配分の仕方の数は12枚の同じ券を3組に分ける分け方と同じだ。分け方一通りにつき，手にする果物の組み合わせも一通りで，分け方が違えば組み合わせも違うわけだ。

(1)では