対数の性質

　はその基本からして，これまでに使ってきた記号に比べて複雑ですから，その計算方法も一筋縄では行きません．

　まずはその中でも簡単なものから説明しましょう．

　は，「を１にする指数」ですから，がどんな数であっても０ですし（），は「をにする指数」ですから，当然１です．（）

　次に　が，どう計算できるかを考えます．そのためには，が，結局は「を何にする指数」なのかを，実際にをの指数としたを計算することによって調べることにします．計算すれば，

となります．すなわち，は，「をにする指数」とわかりました．ということは，

であったわけです．

　次はですが，

と計算できますから，は「をにする指数」とわかりました．つまり

なのです．

　はどうでしょうか．これもの指数にしたを計算してみるのですが，指数の順序を変えて計算すれば，

です．「をにする指数」ですから，

と変形できます．

　はどうでしょう．

ということで，は，をにする指数だとわかります．（まず一つめの指数が，をにして，次に二つめの指数が，をにしたわけです．）

　この公式は，この形では教科書には出てきませんが，二つの対数のかけ算で，片方の真数がもう片方の底と同じなときに，一つの対数に直せるので，この形で理解しておくと便利です．普通の教科書などには，この両辺をでわってある形，すなわち

だけが載っています．これを底の変換公式といい，底を無理矢理変えるために使います．左辺から右辺に変えるときに新たに登場する底の値は，なんでもよいのです．（ただし正でしかも１以外です．）