積和の公式の覚え方

問題　を和の形に直せ

　和積の公式は，二つの角を , とおいて加法定理で展開するだけの単純なものでしたが，積和の公式はどうでしょう．実は積和の公式も，公式をその場で作るというよりは，その計算方法を覚えておくものなのですが，和積の公式にくらべるとやや複雑です．とはいえ誰もが思っているほどには難しくはありません．

　この問題の場合，まずはこの を含む加法定理の式を２つ書きます． を含むのは， の加法定理で， と の２つだと気づかねばいけません．ここでは を含むものを書くので， と の２つで，それらの式は

となります．さて，この２式から， を残して を消すにはどうしたらよいでしょう？　それには両辺をたすことになります．ついでに左辺の について， ， と計算してしまいましょう．すると，

＋）
		（←括弧の中は普通に計算した）

となりますから，左右を入れ替えて両辺を でわれば，

となり，変形が終わりました．あとは を になおしてカッコを展開すれば完璧です．

このように，与えられた積を含む加法定理の式２つを，たすかひくことが，積から和の形に直すときのポイントです．

　この方法で全ての積和の公式が作れます．

　 が登場する加法定理の式は，先に言ったように と の２つですから，まずこれらを並べて書きます．すると

となり， を残すには２式をたせばいいので，

＋）

となり，左右を入れ替えて両辺を でわると

という公式ができました．

　 が登場する加法定理の式は， と の２つです．

ここで を残すためには を消すことになるので，２式を引き算せねばなりません．

－）

この場合は左右を入れ替えて両辺を でわって，

です．

　 が登場するのも と同様， と の２つです． を残すためには，両辺をたすことになります．

＋）

これを左右入れ替えて両辺を でわれば

というわけです．

　ここでは一応公式を書いておきましたが，先に述べたようにに公式を丸暗記するのではなく，与えられた積を含む加法定理の式２つを，たすかひくと覚えておけばよいわけです．

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