数学的帰納法とは？

　Σで計算しようとすると，nの4乗がでてくるので困ったことに計算ができません。確かになどと代入してみると成り立つのはわかりますが，証明する相手は1, 2, … ではなく，nです。全てのnについて成り立つことを示さないといけないのです。nは無限に続くので，ひとつひとつ代入していってもきりがありません。「で成り立ったのだから，全部成り立つでしょう」というのは認められません。「じゃあ，成り立つことが永遠に続くという証拠は？」と突かれてそれまでです。

　そこで考え出されたのが，数学的帰納法の骨格の

で成り立つなら，でも成り立つ

という，魔法の鍵なのです。このことさえ示せれば，後はこの鍵が自動的に，「n = 2で成り立つなら，n = 3でも成り立つし，n = 3でも成り立つならn = 4でも…」と，無限に続くnの全てについて，次々と示してくれることになるわけです。

　ただしこの鍵は，最初に成り立つnがあってこそ使えるものですから，この鍵を実際に使うには，最初の一歩の使い出し点を用意してやらねばいけません。それが数学的帰納法のもう１つのポイントである，

のとき成り立つ

ことを示すことなのです。のときに成り立つことが示せれば，魔法の鍵はこれを出発点として無限に働くわけです。

　さて，先の等式を実際に証明してみましょう。

　まず，のときですが，左辺はだけになりますし，右辺はとなって，いずれも24で等しいことがわかります。

　次に肝腎の

で成り立つなら，でも成り立つ

ことの証明ですが，具体的に n = k のときの式と，n = k +1 のときの式を書いてみるとわかりやすくなります。

まずのときは

……(1)

次にのときの式は，

……(2)

となります。魔法の鍵の証明は，

ことを証明する，つまり(1)を使って(2)を証明すればいいわけです。(2)を証明するには，「(2)の左辺－(2)の右辺＝0」が示せればよいですから，(2)の左辺－(2)の右辺を計算しはじめると，

(2)の左辺－(2)の右辺

＝
……★

となりますが，このうち１行目のは，(1)よりと等しいので，★の式にこれを代入してみると，

となり，めでたく証明できたことになります。

　実際に数学的帰納法を使うときにはこのように，n＝k のときの式((1)の式)と，n＝k+1 のときの式((2)の式)をきちんと書いてみて，(1)を使って(2)を証明すればいい，と考えれば俄然証明しやすくなります。

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